Question

【題目】橢圓C：的離心率為，其右焦點(diǎn)到橢圓C外一點(diǎn)的距離為，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的長(zhǎng)度為2．

1求橢圓C的方程；

2求面積S的最大值．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

分析：（1）由離心率、兩點(diǎn)間距離公式、橢圓系數(shù)關(guān)系可列方程組，即可求得結(jié)果；

（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形求面積的方法求得面積表達(dá)式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得三角形面積的最大值.

詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，則由題意得

得 或 （舍去）

所以橢圓方程為．

(Ⅱ)：因?yàn)榫�段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，直線不過(guò)原點(diǎn)，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為（），

由 消去，并整理，得.

設(shè)，，又,

所以，

因?yàn)?/span>,所以，即

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以．又點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?/span> ，所以 　

所以，即的最大值為 ．