【題目】已知函數
，不等式
對
恒成立．
（1）求函數
的極值和函數的圖象在點
處的切線方程；
（2）求實數
的取值的集合
；
（3）設
，函數
，
，其中
為自然對數的底數，若關于
的不等式
至少有一個解
，求
的取值范圍．
【答案】（1）極大值為
，無極小值；
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）對
求導，然后利用導數大于零和導數小于零，求得函數的單調區間，由此求得函數的極值.通過求出切點和斜率，利用點斜式求得切線方程.（2）當
時不合題意.當
時，對
兩邊取以
為底的對數，轉化為
對
恒成立.根據（1）中函數的單調性以及極大值，可求得
的值.（3）將關于
的不等式左邊構造為函數
，對
分成
和
兩類，分別利用函數的值域，和函數的導數，求解出的取值范圍.
（1）
，則
時，
時，
故
在
遞增，在
遞減，故
； 又
，故函數的圖象在點
處的切線方程為：
（2）顯然，不合題意。當時，由得
，則有，故依題意知對恒成立.由前面的結論知，當
時，
取得最大值
，故
.又可知，當
時，
取得最大值，故
.故
，綜上得 .
（3）設
則
.當時，
，所以不存在
使得
成立．故不合題意.當時，
.因為
， 所以
在恒成立，故
在單調遞減，
，則依題意有
.解之得
故的取值范圍
沖刺100分單元優化練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知動點M與到點N(3，0)的距離比動點M到直線x=-2的距離大1，記動圓M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點，且
(O為坐標原點)，證明直線l經過定點H，并求出H點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一臺還可以用的機器由于使用的時間較長，它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺陷，每小時生產有缺陷零件的多少隨機器運轉的速率而變化，下表為抽樣試驗結果：
轉速x（轉/秒） | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小時生產有缺陷的零件數y（件） | 11 | 9 | 8 | 5 |
（1）畫出散點圖；
（2）如果y與x有線性相關的關系，求回歸直線方程；
（3）若實際生產中，允許每小時生產的產品中有缺陷的零件最多為10個，那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
，圓
，一動圓在
軸右側與
軸相切，同時與圓
相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以
，
為焦點的橢圓。
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且
，求曲線E的標準方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線
與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線
的斜率
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從
四所高校中選2所.
（1）求甲、乙、丙三名同學都選
高校的概率；
（2）若甲必選
，記
為甲、乙、丙三名同學中選校的人數，求隨機變量的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在直三棱柱
中，
，
平面
，D為AC的中點.
（1）求證：
平面；
（2）求證：
平面
；
（3）設E是
上一點，試確定E的位置使平面
平面BDE，并說明理由.
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