【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為矩形，
平面，
為
的中點.
（1）證明:
∥平面
.
（2）設二面角
為
，
，
，求三棱錐
的體積.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
(1)連結
交
于點
，連結
. 根據四邊形
為矩形，所以為的中點，
為
的中點，利用三角形的中位線可得∥
，再利用線面平行的判定定理證明.
(2) 根據
平面，四邊形為矩形，建立空間直角坐標系
.設
，再求得平面DAE， 平面CAE的法向量，根據二面角
為
，利用
，解得
.，然后利用錐體體積公式求解.
(1)連結交于點，連結.
因為四邊形為矩形，所以為的中點，
又為的中點，所以∥，
且
平面
，
平面，所以∥平面.
(2) 因為平面，四邊形為矩形，所以
兩兩垂直，
以
為坐標原點，
的方向為
軸的正方向，
的方向為
軸的正方向，
的方向為
軸的正方向，
為單位長，建立空間直角坐標系.
設，則
，
所以
，
設
為平面
的法向量，則
，
可取
，
又
為平面
的一個法向量，由題設知
即
，解得.
因為為的中點，設
為
的中點，
則
∥
，且
，⊥面
，
故有三棱錐
的高為
，
三棱錐的體積
所以三棱錐的體積為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從一批蘋果中隨機抽取50個，其質量（單位：
）的頻數分布表如下：
分組 |
|
|
|
|
頻數 | 5 | 10 | 20 | 15 |
用分層隨機抽樣的方法從質量在
和
內的蘋果中共抽取4個，再從抽取的4個蘋果中任取2個，則有1個蘋果的質量在內的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，
，數列
滿足
，點
在直線
上.
（1）求數列，的通項公式
，
；
（2）令
，求數列
的前項和
；
（3）若
，對所有的正整數都有
成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，不等式
對
恒成立．
（1）求函數
的極值和函數的圖象在點
處的切線方程；
（2）求實數
的取值的集合
；
（3）設
，函數
，
，其中
為自然對數的底數，若關于
的不等式
至少有一個解
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，直線
的參數方程為
（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，直線與曲線C交于
兩點．
（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求
．
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