Question

【題目】己知動點(diǎn)M與到點(diǎn)N(3，0)的距離比動點(diǎn)M到直線x=-2的距離大1，記動圓M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點(diǎn)，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)H，并求出H點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1);(2)證明見解析，定點(diǎn)

【解析】

（1）題意可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到直線的距離相等，通過拋物線的定義可得曲線方程；

（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)可以計(jì)算出的值，進(jìn)而可求直線所過定點(diǎn).

（1）由題意得動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與動點(diǎn)到直線的距離相等，

∴動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線.

∴曲線的方程為.

（2）∵直線與曲線相交于兩點(diǎn)，∴直線的斜率不為0

設(shè)，，直線的方程為

由，消去得，

∴，即

∴，，

∵，∴，

∴，

∴，滿足，

∴直線的方程為，

∴直線過定點(diǎn).