Question

【題目】設橢圓E的方程為 +y2=1（a＞1），O為坐標原點，直線l與橢圓E交于點A，B，M為線段AB的中點．
（1）若A，B分別為E的左頂點和上頂點，且OM的斜率為﹣ ，求E的標準方程；
（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，兩式相減，得 ，

即 ，又 ，

代入化簡，解得a=2，

故E的標準方程為

（2）解：設直線l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4=0①

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2= ，

由中點坐標公式可知：M（ ， ），即M（ ，﹣ ）

∵|OM|=1，

∴n2= ②，

設直線l與x軸的交點為D（n，0），

則 ，

令 ，

設t=m2+4（t≥4），

則 ，

當t=12時，即 時，

△AOB的面積取得最大值1

【解析】（1）將A和B代入橢圓方程，做差求得 ，由斜率公式可知kAB= ，即可求得a的值，求得E的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式，即可求得M點坐標，由|OM|=1，可得n2= ，由三角形面積公式可知： ，t=m2+4（t≥4），代入由基本不等式的性質即可求得△AOB面積的最大值．