Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），離心率e= ．
（1）求橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l1：y=kx+m1與橢圓G交于 A，B兩點(diǎn)，直線l2：y=kx+m2（m1≠m2）與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，如圖所示． ①證明：m1+m2=0；
②求四邊形ABCD 的面積S 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓G的方程為 （a＞b＞0）

∵左焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），離心率e= ．∴c=1，a= ，

b2=a2﹣c2=1

橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①證明：由 消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2= ，x1x2= ；

|AB|= =2 ；

同理|CD|=2 ，

由|AB|=|CD|得2 =2 ，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四邊形ABCD 是平行四邊形，設(shè)AB，CD間的距離d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2 ×

= .

所以當(dāng)2k2+1=2m12時(shí)，四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2

【解析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率可求得a、b、c即可．（2）①利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，表示出由|AB|、|CD|，由|AB|=|CD|得到m1+m2=0， ②邊形ABCD 是平行四邊形，設(shè)AB，CD間的距離d= ，由m1+m2=0得s=|AB|×d=2 × = ．即可．