Question

【題目】設數列的前n項和為，已知，．

（1）求的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）令，，證明：對任意，均有（要求不得使用數學歸終法）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）直接將代入已知等式即可得的值；

（2）將已知等式化簡為，再寫一式，兩式相減，即可求數列是以首項為1，公差為1的等差數列，求出，即求出數列的通項公式；

（3）易得，令數列的前項和為，求出得通項公式，利用作差法判斷，綜合即得結果.

（1）∵，

∴當時，，

又，∴.

（2）∵．

∴，①

∴當時，，②

由①-②，得，

∵，∴，

∴，

∴數列是以首項為1，公差為1的等差數列，

∴，∴，

當時，上式顯然成立，

∴.

（3）∵，∴，

∴，

，

令數列的前項和為，

從而，

當時，，

又

，

即對任意的，有，

又因為，所以，

則，故原不等式成立.