Question

（本小題滿分12分）
已知矩形與正三角形所在的平面互相垂直， 、分別為棱、的中點，,，
(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

(1)取EC的中點F，連接FM，F(xiàn)N，則可以證明四邊形AMFN為平行四邊形，從而證明AM//NF，問題得證.
（2）可以采用傳統(tǒng)方法找（或作）出二面角的平面角，也可以考慮用空間向量法求二面角.
方法一：（1）證明：取EC的中點F，連接FM，FN，
則，，， ………………………2分
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，                           …………………………………4分
因為平面，平面，
所以直線平面；                  …………………………………6分
（2）解：由題設知面面，，
又，∴面，作于，則，作，連接，由三垂線定理可知，
∴就是二面角的平面角，  …………………………………9分
在正中，可得，在中，可得，故在中，，               ………………………………11分
所以二面角的大小為    …………………………12分

方法二：如圖以N為坐標原點建立空間右手
直角坐標系,所以 
 …1分
（1）取EC的中點F，所以，                   
設平面的一個法向量為，
因為，
所以，；，………3分
因為，，所以  ………………………5分
因為平面，所以直線平面    ………………………7分
（2）設平面的一個法向量為，因為，
所以，；所以……………9分
         ………………………………11分
因為二面角的大小為銳角,
所以二面角的大小為     ………………………………12分