Question

（12分）如圖已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．
（I）在直線上是否存在一點，使得平面？請證明你的結論；
(II)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。

Answer 1

（I）見解析；（2）． 

（1）先確定線段的中點就是滿足條件的點．再取的中點，證明四邊形為矩形，四邊形是平行四邊形．由線面平行的判定定理證出結論；
（2）可以根據二面角的定義找出二面角的平面角求解，關鍵是找到二面角的棱，由平面平面，平面，。∴是所求二面角的平面角．在三角形中求解；也可以建立坐標系利用法向量求解。
（I）線段的中點就是滿足條件的點．

證明如下：
取的中點連結，則
，，    …………………2分
取的中點，連結，
∵且，
∴△是正三角形，∴．
∴四邊形為矩形，∴．又∵，………3分
∴且，四邊形是平行四邊形．…………4分
∴，而平面，平面，∴平面．……6分
（2）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，∵，∴， 是平面與平面所成二面角的棱．……8分

∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．………………10分
設，則，，
∴，
∴． ………12分
（法2）∵，平面平面，
∴以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，則軸在平面內（如圖）．設，由已知，得，，．

∴，，…………………8分
設平面的法向量為，
則且，
∴∴解之得
取，得平面的一個法向量為.         ………10分
又∵平面的一個法向量為． ……11分
．………12分