Question

（本題滿分14分）已知正四棱錐的底面邊長為，為中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）若是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）直線與平面所成角的余弦值為

本題主要考查立體幾何線面平行、直線與平面所成的角和二面角，同時考查空間想象能力和推理論證能力.
（1）利用線面平行的判定定理可以證明該結論。
（2）而線面角的求解可以運用三垂線制作出角，然后借助于直角三角形求解得到結論。
（Ⅰ）解：連結與交于點,連結.
又平面,平面.
平面.
（Ⅱ）解：是二面角的平面角,
,
平面，
取中點,連結,交于點,則,
又側棱長為
平面，
就是直線與平面所成的角.
又則


故直線與平面所成角的余弦值為
（用等體積法或者空間向量等方法同樣給分）