Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD與四邊形CC₁D₁D均是邊長為1的正方形，∠ADD₁="120°" ，點E為A₁B₁的中點，點P，Q分別是BD，CD₁上的動點，且.
（1）當平面PQE//平面ADD₁A₁時，求的值.
（2）在（1）的條件下，求直線QE與平面DQP所成角的正弦值.

Answer 1

（1）1；（2）

本試題主要考查了立體幾何中線面的平行與線面角的求解。
解：（1）由平面PQE//平面ADD₁A₁，得點P到平面ADD₁A₁的距離等于點E到平面ADD₁A₁的距離。而四邊形ABCD與四邊形CC₁D₁D均是邊長為1的正方形，

（2）由（1）知P，Q分別是BD，CD1的中點，如圖，以點D為原點，以DA、DC所在的直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），


設平面DQP的法向量為
則
，

設直線QE與平面DQP所成的角為，則