Question

在四棱錐中，底面是矩形，已知，，，，。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大小。（12分）

Answer 1

（1）見解析；（2）.

第一問中，利用線面垂直的判定定理求證。在中，由題設PA=2，AD=2，
PD=，可得，于是
在矩形ABCD中，，又
，從而得到結論。
第二問中，過點P作于H，過點H作于E，
連接PE，又因為平面PAB，平面PAB，所以，
又，因而平面ABCD，
故HE為PE在平面ABCD內的射影，，從而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角，然后借助于三角形求解得到。
解：（I）在中，由題設PA=2，AD=2，
PD=，可得，
于是，……….2分，
在矩形ABCD中，，又….4分，
所以平面PAB。……….6分，
（II）如圖所示，過點P作于H，過點H作于E，
連接PE，……….7分，
因為平面PAB，平面PAB，所以，
又，因而平面ABCD，
故HE為PE在平面ABCD內的射影，，……….8分，
從而是二面角P-BD-A的平面角。……….9分，
由題設可得，，
，……….10分，
由～得
，于是在中，
，….11分，
所以二面角P—BD—A 的正切值的大小為。………….12分