Question

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.
（1）求實數的值；
（2）求在區間上的最大值；
（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

Answer 1

（1）；( Ⅱ)詳見解析；( Ⅲ)詳見解析.

試題分析：（1）當x＜1時，f（x）=-x³+x²+bx+c，則f'（x）=-3x²+2x+b．依題意得：，由此能求出實數b，c的值．（2）由知，當-1≤x＜1時，，令f'（x）=0得，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況列表知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當1≤x≤2時，f（x）=alnx．當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當a＞0時，f（x）在[1，2]上單調遞增．當aln2≤2時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為2；當aln2＞2時，f（x）在區間[-1，2]上的最大值為aln2．（3）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．
解：（1）當時，，則。
依題意得：，即   解得
（2）由（1）知，
①當時，，
令得或
當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

 
又，，。∴在上的最大值為2.
②當時, .當時, ,最大值為0；
當時,在上單調遞增。∴在最大值為。
綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；
當時，即時，在區間上的最大值為。
（3）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即   （*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若，則代入（*）式得：
即，而此方程無解，因此。此時，
代入（*）式得：    即  （**）
令 ，則
∴在上單調遞增， ∵    ∴,∴的取值范圍是。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角
三角形，且此三角形斜邊中點在軸上。