Question

【題目】已知是直線上任意兩點，是外一點，若上一點滿足，則的值是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

依題意知，cosθ+cos2θ＝1，于是得cosθ＝sin2θ，sin6θ＝2cosθ﹣1，sin2θ+sin4θ+sin6θ＝2cosθ，解方程cosθ+cos2θ＝1，可求得cosθ，從而可得答案．

解：∵A、B、C三點共線，且cosθcos2θ，

∴cosθ+cos2θ＝1，（三點共線的充要條件）

∴cos2θ＝1﹣cosθ，

∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ，

∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1，

∴sin2θ+sin4θ+sin6θ

＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1

＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1

＝2cosθ，

由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，

∴cosθ，

∴原式＝2cosθ1，

故答案為：1．