Question

【題目】已知函數 ，（e為自然對數的底數，a，b∈R），若f（x）在x=0處取得極值，且x﹣ey=0是曲線y=f（x）的切線．
（1）求a，b的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數 ，若函數h（x）=g（x）﹣cx2為增函數，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

∵f（x）在x=0處取得極值，∴f'（0）=0，即b=0，

此時 ，

設直線x﹣ey=0與曲線y=f（x）切于點P（x0，y0），由題意得 ，解之得a=1；

（2）解：記函數 ，

當x≥2時，F'（x）＜0恒成立，

當0＜x＜2時， ，

從而

∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上單調遞減．

又 ，∴F（1）F（2）＜0，

又曲線y=F（x）在[1，2]上連續不間斷，

∴由函數的零點存在性定理及其單調性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，

∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，

故 ，

從而 ，

∴ ．

由函數h（x）=g（x）﹣cx2為增函數，且曲線y=h（x）在（0，+∞）上連續不斷，

知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．

①當x＞x0時， 在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，記 ，則 ，

從而u（x）在（x0，3）單調遞減，在（3，+∞）單調遞增，∴ ．

故 在（x0，+∞）上恒成立，只需 ，∴ ．

②當0＜x＜x0時， ，

當c≤0時，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，

綜上所述，實數c的取值范圍為：

【解析】（1）求出原函數的導函數，由f（x）在x=0處取得極值，且x﹣ey=0是曲線y=f（x）的切線，可得b=1，且 ，由此可得a值；（2）記函數 ，求其導函數，可得當x≥2時，F'（x）＜0恒成立，當0＜x＜2時，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上單調遞減．由函數的零點存在性定理及其單調性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有 ，得到 ，分離參數c后利用導數求得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．