Question

【題目】已知函數f（x）= +aln（x﹣1）（a∈R）．
（1）若函數f（x）在區間[2，+∞）上是單調遞增函數，試求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[2，+∞）時，求證： ≤2ln（x﹣1）≤2x﹣4；
（3）求證： + +…+ ＜lnn＜1+ +…+ （n∈N*且n≥2）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f′（x）= ，

若函數f（x）在區間[2，+∞）上是單調遞增函數，

則f′（x）≥0恒成立，

即a≥ 恒成立，所以a≥（ ）max．

又x∈[2，+∞），則0＜ ≤1，所以a≥1．

（2）證明：令a=2，由（Ⅰ）知函數f（x）= +2ln（x﹣1）在[2，+∞）上是增函數，

所以當x＞2時，f（x）＞f（2），即 +2ln（x﹣1）＞0，則2ln（x﹣1）＞ =1﹣ ．

令g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1），則有g′（x）=2﹣ = ，

當x∈（2，+∞）時，有g′（x）＞0，

因此g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1）在（2，+∞）上是增函數，所以有g（x）＞g（2）=0，

即可得到2x﹣4＞2ln（x﹣1）．

綜上有1﹣ ＜2ln（x﹣1）＜2x﹣4（x＞2）．

（3）證明：在（2）的結論中令x﹣1= ，則 ＜2ln ＜2 ，

取t=1，2，…，n﹣1，（n∈N*，n≥2）時，得到（n﹣1）個不等式，

將所得各不等式相加得， + +…+ ＜2（ln +ln +…+ln ）＜2（1+ +…+ ），

所以 + +…+ ＜2lnn＜2（1+ +…+ ），

即 + +…+ ＜lnn＜1+ +…+ （n∈N*且n≥2）

【解析】（1）先求導函數f′（x），要使函數f（x）在區間[2，+∞）上是單調遞增函數，則f′（x）≥0恒成立，分離參數可得a≥ 恒成立，所以a≥（ ）max，由于x∈[2，+∞），可知0＜ ≤1，從而問題得解；（2）令a=2，由（Ⅰ）知函數f（x）在[2，+∞）上是增函數，所以當x＞2時，f（x）＞f（2），從而不等式左邊得證，構造函數g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1），求出g′（x），可知g（x）=2x﹣4﹣2ln（x﹣1）在（2，+∞）上是增函數，所以有g（x）＞g（2）=0，從而不等式右邊成立，故得證；（3）在（2）的結論中令x﹣1= ，則 ＜2ln ＜2 ，取t=1，2，…，n﹣1，（n∈N* ， n≥2）時，得到（n﹣1）個不等式，將所得各不等式相加得，即可證得．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．