Question

【題目】已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，csinC﹣asinA=（ c﹣b）sinB．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC面積S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)csinC﹣asinA=（ c﹣b）sinB．
得：c2+b2﹣ bc=a2 ，
即c2+b2﹣a2= bc，
∴由余弦定理可得：cosA= = =
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=30°．
（Ⅱ）由（1）可得c2+b2﹣1= bc，
∴2bc﹣1≤ bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴bc≤ =2+
∴S△ABC= bcsinA= bc≤
∴三角形ABC面積S的最大值
【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，再由余弦定理列出關(guān)系式，將得出的等式變形后代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）結(jié)合基本不等式可得bc≤2+ ，再根據(jù)面積公式即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:．