Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點，將△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
（1）求證：平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E為D′B的中點，求二面角E﹣AM﹣D′的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題知，在矩形ABCD中，∠AMD=∠BMC=45°，

∴∠AMB=90°，

又D'A⊥BM，∴BM⊥面D'AM，

∵BM面ABCM，

∴面ABCM⊥面D'AM

（2）解：由（Ⅰ）知，在平面D'AM內過M作直線NM⊥MA，則NM⊥平面ABCM，

故以M為原點， 分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則M（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D'（1，0，1），

于是 ， ， ，

設平面EAM的法向量為 ，

則 令y=1，得平面EAM的一個法向量 ，

平面D'AM的一個法向量為 ，

故 ，

即二面角E﹣AM﹣D'的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出∠AMB=90°，D'A⊥BM，從而BM⊥面D'AM，由此能證明面ABCM⊥面D'AM．（Ⅱ）在平面D'AM內過M作直線NM⊥MA，以M為原點， 分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AM﹣D'的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．