Question

如圖,在三棱錐A－BCD中,側面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個側面是正三角形

(1)求證：AD^BC
(2)求二面角B－AC－D的大小
(3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 
不存在,說明理由.

Answer 1

(1)見解析    (2) 所求二面角的大小是
(3)上存在點,且時,與面成角.

本試題主要考查了立體幾何中的線線的垂直的證明，以及二面角的求解問題，線面角的求解的綜合運用。
（1）利用線面垂直的性質定理得到證明。
（2）合理的建立空間直角坐標系，表示平面的法向量，借助于向量的數量積的性質定理，表示法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。
（3）對于探索性問題，可以假設存在，然后在此基礎上，我們進一步分析斜向量和平面的法向量，利用線面角的大小求解得到。
解： (1)方法一:作面于,連


又,則是正方形.
則
方法二:取的中點,連、,
則有

(2)作于,作交于,
則就是二面角的平面角.
是的中點,且∥
則
由余弦定理得
(3)設為所求的點,作于,連.則∥
就是與面所成的角,則.
設,易得
解得
故線段上存在點,且時,與面成角.
解法二:
（1）作面于,連、、,則四邊形是正方形,且,
以為原點,以為軸,為軸建立空間直角坐標系如圖,

則
 
(2)設平面的法向量為則由知:;
同理由知:可取同理,可求得平面的一個法向量為由圖可以看出,二面角的大小應等于<>
則<>,即所求二面角的大小是.
(3)設是線段上一點,則
平面的一個法向量為
要使與面成角,由圖可知與的夾角為,
所以
則,解得,,則
故線段上存在點,且,時與面成角.