Question

如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面平面.
（Ⅰ）求證：點為棱的中點；
（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

Answer 1

（1）點為棱的中點.             （2）相等．

本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運用。第一問中，
易知，面。由此知：從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.
（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點，可以得證。
（1）過點作于點，取的中點，連。面面且相交于，面內的直線，面。……3分
又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.               …6分
（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD="1" /3 S_B1C1CD•A₁B₁="1/" 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD="1" /3 S_A1ABD•BC="1" /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD