Question

【題目】已知數列滿足對任意的，都有，

且．

（1）求，的值；（2）求數列的通項公式；

（3）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）實數a的取值范圍是 .

【解析】

試題分析：

（1）當n=1，n=2時，直接代入條件且，可求得；

（2）遞推一項，然后做差得，所以；由于，即當時都有，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故求得數列的通項公式；

（3）由（2）知，則，利用裂項相消法得，根據單調遞增得 ，要使不等式對任意正整數n恒成立，只要，即可求得實數a的取值范圍.

試題解析：

（1）解：當時，有，

由于，所以 ．

當時，有，

將代入上式，由于，所以．

（2）解：由于，①

則有．②

②－①，得，

由于，所以③

同樣有，④

③－④，得．

所以．

由于，即當時都有，

所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．

故．

（3）解：由（2）知，則，所以

，∴數列單調遞增 ．

.

要使不等式對任意正整數n恒成立，只要 ．

.

，即 .

所以，實數a的取值范圍是 ．