Question

【題目】 設函數f(x)＝(x－1)2＋bln x，其中b為常數．

(1)當b>時，判斷函數f(x)在定義域上的單調性；

(2)若函數f(x)有極值點，求b的取值范圍及f(x)的極值點．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增（2）見解析

【解析】

試題（1）先求函數導數，再對導函數分子配方，根據b范圍確定導函數符號，即得函數單調性（2）函數f(x)有極值點，即導函數變化，轉化為對應方程有兩個不等實根，即得b的取值范圍，再列表分析導函數符號變化規律，進而確定f(x)的極值點．

試題解析：解：(1)由題意知，f(x)的定義域為(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－2＋＝＝ (x>0)，

∴當b>時，f′(x)>0，函數f(x)在定義域(0，＋∞)上單調遞增．

(2)①由(1)得，當b≥時，f′(x)≥0，函數f(x)無極值點．

②當b<時，f′(x)＝0有兩個不同解，x1＝－，x2＝＋，所以(ⅰ)b≤0時，x1＝－≤0(0，＋∞)，舍去，

而x2＝＋≥1∈(0，＋∞)，

此時f′(x)，f(x)隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	單調遞減	極小值	單調遞增

由此表可知：b≤0時，f(x)有惟一極小值點，x＝＋.

(ⅱ)當0<b<時，0<x1<x2<1，此時，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由此表可知：0<b<時，f(x)有一個極大值x1＝－和一個極小值點x2＝＋.

綜上所述：當b≤0時，f(x)有惟一極小值點x＝＋；

當0<b<時，f(x)有一個極大值點x＝－和一個極小值點x＝＋.