Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點，M為棱AA1的中點．

（1）證明：A1B1⊥C1D；

（2）若AA1＝4，求三棱錐A﹣MDE的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明AB⊥CD，AB⊥CC1，證明A1B1⊥平面CDC1，然后證明A1B1⊥C1D；
（2）求出底面△DCE的面積，求出對應的高，即點到底面DCE的距離，然后求解四面體M-CDE的體積，由三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積得結論.

（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴AB⊥CD，AB⊥CC1，CD∩CC1＝C，

∴AB⊥平面CDC1，

∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面CDC1，

∵C1D平面CDC1，

∴A1B1⊥C1D；

（2）解：三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積，

AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點，

M為棱AA1的中點．AA1＝4，所以AM＝2，AB⊥CD，

三棱錐A﹣MDE的體積：．