Question

【題目】已知函數f(x）=xlnx，g(x)=,

（1）求f(x)的最小值；

（2）對任意，都有恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)（ (3)見證明

【解析】

（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律確定函數單調性，最后根據函數單調性確定最小值取法；（2）先分離不等式，轉化為對應函數最值問題，利用導數求對應函數最值即得結果；（3）構造兩個函數，再利用兩函數最值關系進行證明.

（1）

當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以函數f(x）的最小值為f(）=；

（2）因為所以問題等價于在上恒成立，

記則，

因為，

令

函數f(x）在（0,1）上單調遞減;

函數f(x）在（1，+）上單調遞增；

即，

即實數a的取值范圍為（.

（3）問題等價于證明

由（1）知道

，令

函數在（0,1）上單調遞增；

函數在（1，+）上單調遞減；

所以{，

因此，因為兩個等號不能同時取得，所以

即對一切，都有成立.