Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明:；

（3）試比較與 ，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）求得，對的范圍分類討論即可求得的單調性。

（2）將轉化成，證明恒成立，利用導數求得，問題得證。

（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：

利用即可得：，問題得解。

（1）函數的定義域為：，

①當時，，所以在上單調遞增

②當時，令，解得 ．

當時，，所以， 所以在上單調遞減；

當時，，所以，所以在上單調遞增．

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）當 時，，要證明，

即證，即證：.

設，則 ，令得，.

當時，，當時，.

所以為極大值點，且在處取得最大值。

所以，即。故.

（3）證明：（當且僅當時等號成立），即,

則有+

,

故：+