Question

【題目】平面上有7個點，每三點的兩兩連線都組成一個不等邊三角形．求證：一定可以找到4對三角形，使每對三角形的公共邊既是其中一個三角形的最長邊又是另一個三角形的最短邊．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記平面上的7個點為，，…，．因為每三點兩兩連線都組成不等邊三角形，故每個三角形都有最長邊，也都有最短邊．現將每個三角形的最長邊都染上紅色，剩下的邊染上藍色，則每一個三角形都有紅色邊．

下面證明：個三角形中必有4個同色三角形．

（1）6階完全圖的邊作二染色，至少有2個同色三角形．

設的引線中有條紅線，條藍線，以為頂點的非同色三角形有個．

由，知．

則非同色三角形總計為．

故同色三角形的個數應滿足．

（2）7階完全圖的邊作二染色，至少有4個同色三角形．

由（1）的證明知，此時，至少有2個同色三角形．不妨設其中一個為，去掉，對剩下的6個點又應有2個同色三角形，且異于，這就得到3個同色三角形．

這3個同色三角形有9個頂點，取自7個不同的點，故至少有2個頂點重合于某一，去掉，則去掉了2個同色三角形，剩下的6個點又應有2個同色三角形，它們與被去掉的2個同色三角形是不相同的，故一共有4個不同的同色三角形．

（3）由于每一個三角形都有紅邊，這4個同色三角形必為紅色三角形，每個紅色三角形的最短邊必為另一個三角形的最長邊．這就找到了4條連線（每個紅色三角形的最短邊，即使是兩個紅色三角形的公共邊也沒有關系），每一條既是一個三角形的最長邊（紅色），又是另一個三角形（所在紅色三角形）的最短邊．