Question

【題目】已知點(diǎn)（2，3）在橢圓 上，設(shè)A，B，C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，且點(diǎn)C到直線AB的距離為 ．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）（x1≠x2）為橢圓上的兩點(diǎn)，且滿足 = ，求證：△MON的面積為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，得直線AB的方程為 ，點(diǎn)C（0，﹣b），

∴點(diǎn)C到直線AB的距離 ，整理，得 ．　①

又點(diǎn)（2，3）在橢圓上，所以 ．　②

聯(lián)立①②解得 ，

所以橢圓的C的方程為 ．

（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48=0．

∵△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣12）=48（12+16k2﹣m2）＞0，∴12+16k2﹣m2＞0，∴ ， ，

∴ ．

又 ，則由題意，得 ，

整理，得3x1x2+4y1y2=0，則 ，

整理，得m2=6+8k2（滿足△＞0）．

∵ = ═ …

又點(diǎn)O到直線MN的距離d= ，

∴ = = （定值）．

【解析】（1）由截距式方程得出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出等式，再根據(jù)點(diǎn)（2,3）再橢圓上，解出a，b的值，得出橢圓方程；（2）設(shè)MN的方程，代入橢圓方程消元，得到,根據(jù)向量積得到等式,通過距離公式表示三角形面積，推出面積為定值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．