Question

【題目】已知為橢圓：的右焦點，橢圓上任意一點 到點的距離與點到直線：

的距離之比為。

（1）求直線方程；

（2）設為橢圓的左頂點，過點的直線交橢圓于、兩點，直線、與直線分別相交于、兩點，以為直徑的圓是否恒過一定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）和．

【解析】

試題（1）設為橢圓上任意一點，利用條件得到的方程，利用等式恒成立問題進行求解；（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，進而得到的坐標，利用對稱性和平面向量的數量積為0研究其定點．

試題解析：（1）設為橢圓上任意一點，依題意有

∴ 。將代入，并整理得

由點為橢圓上任意一點知，方程對的均成立。∴ ，且解得。

∴ 直線的方程為

（2）易知直線斜率不為0，設方程為。

由，得。

設，，則，。

由，知方程為，點坐標為。

同理，點坐標為。

由對稱性，若定點存在，則定點在軸上。設在以為直徑的圓上。

則。

∴ 。

即，，或。

∴ 以為直徑的圓恒過軸上兩定點和