Question

【題目】已知(e為自然對數的底數，e=2.71828……)，函數圖象關于直線對稱，函數的最小值為m．

(I)求曲線的切線方程；

(Ⅱ)求證：；

(III)求函數的最小值．

Answer 1

【答案】(I)(Ⅱ)見解析(III)

【解析】

(I)由題意可知 ,再利用導數的幾何意義求切線方程. (Ⅱ) 令，求出函數的最小值，再根據得到 . (III)先利用導數求得，再證明，所以.

(I)由題意可知

，所以，所以切線方程為 ，

(Ⅱ)令

，因為，，又因為在上單增

所以存在唯一的，使得，即 ，

當，所以單減，同理在單增，

所以，

因為，所以

所以因為，所以

(III)因為,，所以

因為 ，所以存在唯一的，使得

，即

在單減， 在單增

所以

因為 所以，

所以

令，所以

因為

所以 由，可得，所以

所以，，所以，即，

所以