Question

【題目】《漢字聽寫大會》不斷創收視新高，為了避免“書寫危機”弘揚傳統文化，某市對全市10萬名市民進行了漢字聽寫測試，調查數據顯示市民的成績服從正態分布．現從某社區居民中隨機抽取50名市民進行聽寫測試，發現被測試市民正確書寫漢字的個數全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）試評估該社區被測試的50名市民的成績在全市市民中成績的平均狀況及這50名市民成績在172個以上（含172個）的人數；

（2）在這50名市民中成績在172個以上（含172個）的人中任意抽取2人，該2人中成績排名（從高到低）在全市前130名的人數記為，求的數學期望．

參考數據：若～，則， ， ．

Answer 1

【答案】（1）平均值168，人數10（2） ,

【解析】試題分析：（1）根據組中值與對應區間概率乘積的和為平均值求平均數,根據直方圖中小長方形面積等于對應區間概率求概率,再根據頻數等于總數與概率乘積得人數（2）先確定隨機變量取法,再分別求對應概率 列表得分布列,最后根據數學期望公式求期望

試題解析：（Ⅰ）由直方圖，經過計算該社區50名市民的平均成績為，高于全市的平均值168（或者：經過計算該社區居民平均成績為168.72，比較接近全市的平均值168.

由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數為0.2×50=10，即這50名市民成績在172個以上（含172 個）的人數為10人．

（Ⅱ）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴，0.0013×100 000=130．

所以，全市前130名的成績在180個以上(含180個)，這50人中成績在180 個以上(含180個)的有2人．隨機變量ξ可取0，1，2，

于是，，，

∴．