Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的導函數是f′（x）．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）在曲線y=f（x）的圖象上是否存在不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1≠x2），使得直線AB的斜率k=f′（ ）？若存在，求出x1與x2的關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，f′（x）= （1）當a≤0時，∵x＞0，∴f′（x）＞0；

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，此時函數f（x）無極值；（2）當a＞0時， ；

∴當x 時，g′（x）＞0；當x 時，g′（x）＜0；

∴函數f（x）在 上是增函數，在 上是減函數；

∴當 時，f（x）有極大值 ，無極小值；

綜上所述，當a≤0時，函數f（x）無極值，當a＞0時，f（x）有極大值 ，無極小值．

（2）解：由題意得，

=

= = ．

．

由 得， ；

即 ，即 ；

令 ，不妨設x1＞x2，則t＞1，記 ；

，所以g（t）在（1，+∞）上是增函數；

所以g（t）＞g（1）=0，所以方程g（t）=0無解，則滿足條件的兩點A，B不存在．

【解析】（1）求導數 ，討論a的符號，這樣便可判斷導數的符號，從而可判斷每種情況是否存在極值，若存在便可求出該極值；（2）先根據條件求出斜率 ，而可得到 ，這樣便可根據條件得出 ，然后換元 ，并設x1＞x2 ， t＞1，從而得出 ；求導數并可判斷導數符號g′（t）＞0，從而g（t）＞g（1），而g（1）=0，這即說明g（t）=0無解，從而得出滿足條件的兩點A，B不存在．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．