Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；

（2）當，確定函數零點的個數；

（3）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）個；（3）.

【解析】

（1）由題意可知，對任意的恒成立，利用參變量分離法和基本不等式可求得實數的最大值；

（2）當時，，利用導數分析函數的單調性，并求出該函數的極大值和極小值，進而可得出函數的零點個數；

（3）當時，由可得，令，構造函數，利用導數求出函數在區間上的值域，即可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，，

由題意可知對任意的恒成立，，

當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，

所以，，因此，實數的最大值為；

（2）當時，，定義域為，.

令，得或，列表如下：

		極大值		極小值

所以，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.

所以，函數的極大值為，極小值為，

且，

所以，函數只有一個零點；

（3），，

，

令，得，構造函數，，

令，得，，解得，

當時， ；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

所以，函數的最小值為，

當時，；當時，.

因此，實數的取值范圍是.