Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，證明：在上恒成立；

（2）若函數(shù)有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求導得到，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最小值為，得到答案.

（2）求導得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的最值得到答案.

（1），，

故當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

（2）依題意，，

①當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

因為，所以有唯一零點，即符合題意；

②當時，令，解得，

故當時，，當時，，

故，

（ⅰ）當，即時，，故符合題意；

（ⅱ）當，即時，，

因為，且，故，

故存在，使得，故不符合題意；

（ⅲ）當，即時，，

因為，

設，則，

故，所以單調(diào)遞增，即，故，

又，所以，故存在，使得，

所以不符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.