Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求證：；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

(1),對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最小值，證得函數(shù)的最小值大于0；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值和極值，進而得到參數(shù)的范圍.

證明：當(dāng)時，.

令則

當(dāng)時，；當(dāng)時，，時，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以是的極小值點，也是最小值點，

即

故當(dāng)時，成立，

，由得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)減，在單調(diào)增，

所以是函數(shù)得極小值點，也是最小值點，

即

當(dāng)，即時，沒有零點，

當(dāng)，即時，只有一個零點，

當(dāng)，即時，因為所以在上只有一個零點；

由，得，令，則得，所以，于是在在上有一個零點；

因此，當(dāng)時，有兩個零點.

綜上，時，沒有零點；

時，只有一個零點；

時，有兩個零點.