Question

【題目】設函數（為常數， 為自然對數的底數）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在內存在三個極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接求導，再求函數的單調區間. (2)第（2）問，對k進行分類討論，求出每一種情況下函數的單調性，再分析函數在內存在三個極值點的條件從而得到實數k的取值范圍.

試題解析：

(1) 函數的定義域為..

由可得，所以當時， ；當時， .

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）由（1）知，當時，函數在內單調遞減，在內單調遞增，故在內僅存在一個極值點；

當時，令， ，依題函數與函數， 的圖象有兩個橫坐標不等于2的交點.

，當時， ，則在上單調遞減，

當時， ，則在上單調遞增；

而

所以當即時，存在使得，

且當時，當 ，當時，當時，此時存在極小值點和極大值點；

同理，當即時，存在使得，此時存在極小值點和極大值點.

綜上，函數在內存在三個極值點時，實數的取值范圍為.