Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）當x＞1時，不等式f（x）＞ 恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數f（x）=alnx+ 的導數為f′（x）= ﹣ ，且直線y=2的斜率為0，又過點（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，
解得a=b=1
（II）當x＞1時，不等式f（x）＞ ，即為（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，
即（k﹣1）lnx+ ＞0
令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，g′（x）= +1+ = ，
令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，
①當 ≤1即k≥﹣1時，m（x）在（1，+∞）單調遞增且m（1）≥0，
所以當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調遞增，
則g（x）＞g（1）=0即f（x）＞ 恒成立．
②當 ＞1即k＜﹣1時，m（x）在上（1， ）上單調遞減，
且m（1）＜0，故當x∈（1， ）時，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函數g（x）在（1， ）單調遞減，
當x∈（1， ）時，g（x）＜0與題設矛盾，
綜上可得k的取值范圍為[﹣1，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，可得f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，解方程可得a，b；（Ⅱ）當x＞1時，不等式f（x）＞ ，即為（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，即（k﹣1）lnx+ ＞0，令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，求出導數，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，討論①當 ≤1即k≥﹣1時，②當 ＞1即k＜﹣1時，求出單調性，即可得到k的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．