Question

【題目】已知函數f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若關于x的不等式f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （e2-1）x-y-2=0．(2) （0，e2）

【解析】

（1）直接利用函數的導數求出直線的斜率，進一步求出直線的方程．

（2）利用構造函數的方法，利用函數的單調性和函數的恒成問題的應用，進一步求出參數的取值范圍．

（1）當a=1時，函數f（x）=ex+1-alnax+a，

轉換為：f（x）=ex+1-lnx+1，

故：．

故切線的斜率k=f′（1）=e2-1，

故切線的方程為：y-f（1）=f′（1）（x-1），

整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），

即（e2-1）x-y-2=0．

（2）f（x）=ex+1-alnax+a，

所以：=，

顯然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上單調遞增．

由于g（0）=-a＜0，

所以：g（a）=aea+1-a＞0，

則：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，

即：，lna=lnx0+x0+1，

又0＜x＜x0，f′（x）＜0，

所以函數f（x）單調遞減．

x＞x0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

f（x）在x=x0處取得最小值．

故：，

=

由f（x）＞0恒成立，

得到：f（x0）＞0，

即：，

所以：，

設h（x）=，

則：＜0，

所以：函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減．

由于h（1）=0，

則h（x）＞0，

解得：0＜x＜1，

所以：0＜x0＜1，

，在x0∈（0，1）單調遞增，

所以：0＜a＜e2．

因此a=，

故：a的取值范圍為（0，e2）．