Question

【題目】《復仇者聯盟4：終局之戰》是安東尼·羅素和喬·羅素執導的美國科幻電影，改編自美國漫威漫畫，自2019年4月24日上映以來票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復仇者聯盟4》的觀眾的年齡構成情況，隨機抽取了100名觀眾的年齡，并分成，，，，，，七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100名觀眾年齡的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）、中位數；

（2）該電影院擬采用抽獎活動來增加趣味性，觀眾可以選擇是否參與抽獎活動（不參與抽獎活動按原價購票），活動方案如下：每張電影票價格提高10元，同時購買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎機會，中獎1次則獎勵現金元，中獎2次則獎勵現金元，中獎三次則獎勵現金元，其中且，已知觀眾每次中獎的概率均為.

①以某觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額的數學期望為評判依據，若要使抽獎方案對電影院有利，則最高可定為多少；

②據某時段內的統計，當時該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎活動，并且每增加1元，則參加抽獎活動的觀眾增加100人.設該時間段內觀影的總人數不變，抽獎活動給電影院帶來的利潤的期望為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①最高定為17元，才能使抽獎方案對電影院有利，②時利潤最大，為.

【解析】

（1）由頻率分布直方圖求平均數以及中位數的方法求解即可；

（2）①設觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量，可能的取值為0，，，，求出可能取值對應的概率，得出期望，使期望小于等于10，得出對電影院有利時的最大值；

②由期望的值以及題設條件得出的表達式，根據二次函數的性質，得出的最大值.

（1）平均數，

前三組的頻率之和為

前四組為

故中位數落在第4組

設中位數為，則

解得，即中位數為.

（2）①設觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量，可能的取值為0，，，

所以，

令，解得

所以最高定為17元，才能使抽獎方案對電影院有利.

②.

為二次函數，其對稱軸

時，，時，.

，因此時利潤最大，為