Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)；

（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點分別為、，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

（1），，

，當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.

，，，，.

所以，函數(shù)在與不存在零點，在區(qū)間和上各存在一個零點.

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)為；

（2），.

由（1）得，在區(qū)間與上存在零點，

所以，函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個極值點、，且，，

且滿足即，，

，

又，即，，

，，，

由在上單調(diào)遞增，得，

再由在上單調(diào)遞減，得

，即.