Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，左頂點為，且，是橢圓上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線別與軸交于點，求證：在軸上存在點，使得無論非零實數怎樣變化，以 為直徑的圓都必過點，并求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，點P坐標為或．

【解析】

（1）依題意得，解出即可；

（2）假設存在這樣的點P，設，，，則，

聯立直線與橢圓方程求得點，進而求出直線的方程，由此可得，同理可得，由此可得，解出即可得出結論．

（1）解：依題意，解得，

∴橢圓方程為；

（2）證：假設存在這樣的點P，設，，，則，

聯立，消去，得，

解得，，即，

∵，

∴直線的斜率，

∴直線的方程為，

可得，

同理可得，

∴，，

則，解得或，

∴存在點且坐標為或，使得無論非零實數怎么變化，以為直徑的圓都必過點．