Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的零點個數(shù)為1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，代入，對函數(shù)求導，判斷函數(shù)單調性，根據(jù)特殊值，即可判斷零點個數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)題意，解決函數(shù)恒成立問題，方法一：轉化對任意恒成立，則有對任意恒成立，構造函數(shù)，只需求，利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題。方法二：對任意恒成立.構造函數(shù)，轉化成射線與函數(shù)的圖象相切時屬臨界狀態(tài)，計算求解；方法三：含參的函數(shù)最小值探究，只需，即可求解參數(shù)取值范圍.

（Ⅰ）當時，，其定義域為，

求導得，

于是當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，又，所以函數(shù)的零點個數(shù)為1；

（Ⅱ）法1：因對任意，恒成立，即對任意恒成立，于是對任意恒成立，

令，只需.

對函數(shù)求導，得，令，

則，所以函數(shù)在上單調遞增.

又，所以當時，，，函數(shù)單調遞減；當時，，，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)，于是，即實數(shù)的取值范圍為.

法2：因對任意，恒成立，即對任意恒成立.構造函數(shù)，對其求導，得，

令，得（舍去），所以當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增.

函數(shù)的圖象是一條過原點的射線（不包括端點），旋轉射線（不含端點），發(fā)現(xiàn)與函數(shù)的圖象相切時屬臨界狀態(tài).

設切點為，則，整理得，

顯然在上是增函數(shù)，又，所以，此時切線斜率為1，結合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.

法3：根據(jù)題意只需即可.

又，令，因2與異號，所以必有一正根，不妨設為，則，即，

當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以，

又在上是減函數(shù)，又，所以，

由得在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為.