Question

【題目】直角坐標系中，曲線與軸負半軸交于點，直線與相切于， 為上任意一點， 為在上的射影， 為的中點．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）軌跡與軸交于，點為曲線上的點，且， ，試探究三角形的面積是否為定值，若為定值，求出該值；若非定值，求其取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，可知， ．……………2分

因為為上動點，代入整理，即可得到點的軌跡方程；

（Ⅱ）由 求，同理，得，再

求則到的距離．即可表示的面積.

試題解析：（Ⅰ）依題意，可知，直線．

設，依題意，可知， ．

因為為上動點，所以，

可得動點的軌跡的方程．

（Ⅱ）依題意，不妨記， ，設的斜率為，因為，所以的斜率也為；同理，設的斜率為，因為，所以的斜率也為．

設，由 得，則①；

同理，由 得，則②．

聯立①②，消去可得，不妨設， ．

由 可得，則．

由 可得．

則到的距離．

則三角形的面積

．