Question

【題目】已知函數，，（其中為自然對數的底數，…）.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；

（3）若，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為-1，最小值為（2）（3）

【解析】

（1）當時，利用函數導數，求得函數的單調區間，并求出極大值和極小值.（2）對求導后，令導數大于或等于零，對分成三類，討論函數的單調區間，由此求得取值范圍.（3）構造函數，利用導數求得函數的最小值，令這個最小值大于或等于零，解不等式來求得的取值范圍.

解：（1）當時，，，

當或時，，函數在區間，上單調遞增；當時，，函數在區間上單調遞減.

所以當時，取得極大值；當時，取得極小值.

（2），令，依題意，函數在區間上單調遞增，即在區間上恒成立. 當時，顯然成立；當時，在上單調遞增，只須，即，所以.當時，在上單調遞減，只須，即，所以.

綜上， 的取值范圍為.

（3），即，令=， 因為，所以只須，令，，，因為，所以，所以，即單調遞增，

又，即單調遞增，所以，所以，又，

所以.