Question

已知函數，．
（Ⅰ）若函數，求函數的單調區間；
（Ⅱ）設直線為函數的圖象上一點處的切線．證明：在區間上存在唯一的，使得直線與曲線相切．

Answer 1

（1）單調遞增區間為

：（Ⅰ）求導，由導數可求得增區間，（Ⅱ）先寫出切線方程，證明唯一。
解：（Ⅰ） ，
．            ……………………2分
∵且，
∴，
∴函數的單調遞增區間為．   ……………………4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為，
即，　　①                        ……………………6分
設直線與曲線相切于點，
∵，∴，∴．      ……………………8分
∴直線的方程為，
即，　　②               ……………………9分
由①②得 ，
∴．                                       …………………11分
下證：在區間上存在且唯一：
由（Ⅰ）可知，在在區間上遞增．
又，，    ……………13分
結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                              
故結論成立．           ………………14分