Question

已知函數。
（1）求函數在區間上最小值；
（2）對（1）中的，若關于的方程有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍；
（3）若點A，B，C，從左到右依次是函數圖象上三點，且這三點不共線，求證：是鈍角三角形。

Answer 1

見解析.

本試題主要考查了導數在函數中的運用。
解：(1)因為f(x)=2(x-a),所以=6-4ax=6x(x-a).令=0,得x=0或x=a.…………2分
①若a<,即0<a<1時, 則當1x2時, >0,所以f(x)在區間[1,2]上是增函數, 所以h(a)=f(1)=2-2a.…………4分
②若a<3,即1a<2時, 則當1x<a時, <0, 當a<x2時>0, 所以f(x)在區間[1, a]上是減函數, 所以.在區間[a ,2]上是增函數, 所以. h(a)== …………6分
③若a3,即a2時,當1x2時, 0,所以f(x)在區間[1,2]上是減函數, 所以h(a)=f(2)=16-8a
綜上所述,函數f(x)在區間[1,2]上的最小值是 …………8分
(2)．因為方程h(a)=k(a+1)有兩個不同的實數解,令y=k(a+1),可得y=h(a)圖象與直線y=k(a+1)有兩個不同的交點,而直線y=k(a+1)恒過定點(-1,0),由圖象可得的取值范圍是(-8,-2).…………12分
(3).證明:不妨設<<,由(2)知>>,=(-,-),
=(-,-), 所以=(-)(-)+[-],因為-<0, ->0, ->0,-<0, 所以<0. 又因為A,B,C三點不共線, 所以,即為鈍角三角形…………16分