Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點．
（Ⅰ）求證：直線AM∥平面PNC；
（Ⅱ）求證：直線CD⊥平面PDE；
（III）在AB上是否存在一點G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為 ，若存在，確定G的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，

∵PM=2MD，AN=2NB，
∴MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．
∴MF∥AN，MF=AN，
∴MFNA為平行四邊形，
即AM∥NA．
又AM平面PNC，
∴直線AM∥平面PNC；
（Ⅱ）∵E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．
∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．
又DE∩PD=D，∴直線CD⊥平面PDE；
（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點，如圖建立空間直角坐標系．

則 ．
設面PDA的法向量 ，
由 ，得 ．
設面PDG的法向量 ，
由 ，得 ．
∴cos60°= ．
解得 ，則 ．
∴G與B重合．點B的位置為所求．
【解析】（Ⅰ）在PC上取一點F，使PF=2FC，連接MF，NF，結合已知可得MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線面平行的判定可得直線AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線面垂直的判定可得直線CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點，建立空間直角坐標系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點位置．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．