Question

【題目】已知函數．

(1)若函數存在極小值點，求的取值范圍；

(2)當時，證明：．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 證明見解析.

【解析】

（1）求函數的導數，結合函數極值和導數之間的關系進行討論求解即可；

（2）求函數的導數，討論x的取值范圍，結合函數單調性和最值之間的關系進行證明即可．

（1）由題意知，函數的定義域為，

.

①當時，令，解得，

當時，，

當時，，

∴是函數的極小值點，滿足題意.

②當時，令，

，

令，解得，

當時，，

當時，，

∴，

若，即時，

恒成立，

∴在上單調遞增，無極值點，不滿足題意.

若，即時，

，

∴，

又在上單調遞增，

∴在上恰有一個零點，

當時，

當時，

∴是的極小值點，滿足題意，

綜上，.

（2）當時，

①當，則，，

∴.

②當時，令，

，

令，

，

∵在上是增函數，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，

∴時，成立，

綜上，.