Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，底面，分別是的中點，，，.

（I）證明：；

（II）求直線與平面所成角的正弦值；

（III）在邊上是否存在點，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意結合幾何關系可證得平面，據此證明題中的結論即可；

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；

(Ⅲ)假設滿足題意的點存在，設，由直線與的方向向量得到關于的方程，解方程即可確定點F的位置.

(Ⅰ)由菱形的性質可得：，結合三角形中位線的性質可知：，故，

底面，底面，故，

且，故平面，

平面，

(Ⅱ)由題意結合菱形的性質易知，，，

以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則：，

設平面的一個法向量為,

則：，

據此可得平面的一個法向量為，

而，

設直線與平面所成角為，

則.

(Ⅲ)由題意可得：，假設滿足題意的點存在，

設，，

據此可得：，即：,

從而點F的坐標為，

據此可得：,，

結合題意有：，解得：.

故點F為中點時滿足題意.