Question

【題目】如圖，AB=BE=BC=2AD=2，且AB⊥BE，∠DAB=60°，AD∥BC，BE⊥AD，
（Ⅰ）求證：面ADE⊥面 BDE；
（Ⅱ）求直線AD與平面DCE所成角的正弦值．．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AB=2AD，∠DAB=60°，∴AD⊥DB，

又BE⊥AD，且BD∩BE=B，

∴AD⊥面BDE，又AD面ADE，∴面ADE⊥面 BDE；

（Ⅱ）∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥面ABCD，

∴點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，

設(shè)AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，

由VA﹣DCE=VE﹣ADC得： ，可解得 ，

而AD=1，則 ，

故直線AD與平面DCE所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）AB=2AD，∠DAB=60°，可得AD⊥DB，再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．（Ⅱ）由已知可得BE⊥面ABCD，點E到面ABCD的距離就是線段BE的長為2，設(shè)AD與平面DCE所成角為θ，點A到面DCE的距離為d，利用VA﹣DCE=VE﹣ADC，即可得出．
【考點精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．