Question

【題目】已知定義在R上的連續函數g（x）滿足：①當x＞0時，g′（x）＞0恒成立（g′（x）為函數g（x）的導函數）；②對任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x），又函數f（x）滿足：對任意的x∈R，都有 成立．當 時，f（x）=x3﹣3x．若關于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）對x∈[﹣ ， ]恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A.a∈R
B.0≤a≤1
C.
D.a≤0或a≥1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：因為函數g（x）滿足：當x＞0時，g′（x）＞0恒成立且對任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），
則函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）在R上恒成立|f（x）|≤|a2﹣a+2|對x∈[﹣ ﹣2 ， +2 ]恒成立，
只要使得定義域內|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min ， 由于當x∈[﹣ ， ]時，f（x）=x3﹣3x，
求導得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），該函數過點（﹣ ，0），（0，0），（ ，0），
且函數在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=﹣2，
又由于對任意的x∈R都有f（ +x）=﹣f（x）f（2 +x）=﹣f（ +x）=f（x）成立，
則函數f（x）為周期函數且周期為T=2 ，
所以函數f（x）在x∈[﹣ ， ]的最大值為2，
所以令2≤|a2﹣a+2|解得：a≥1或a≤0．
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．